Respuesta:
Dominio
El dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales está definida. En el caso de la función compuesta (g ∘ f)(x), este depende de los dominios de las funciones f y g.
Observa, que al hacer g∘f, actúa en primer lugar f sobre x, y posteriormente g sobre f(x), es decir:
x→ff(x)→gg[f(x)]=(g∘f)(x)
Por tanto, el dominio de la función compuesta debe satisfacer simultáneamente las condiciones que le imponga la primera función que actúe (x∈Domf), y los de la segunda, teniendo en cuenta que esta última actúa f(x) y no sobre x (f(x)∈Domg).
El dominio de la función compuesta (g ∘ f)(x) es el conjunto:
Domg∘f : x∈Domf ∧ f(x)∈Domg
Donde:
El símbolo ∧ representa la condición "y", es decir, la intersección de los conjuntos de valores obtenidos al aplicar cada condición
Y eso es todo, aunque podemos profundizar un poco en esta idea contándote que pueden darse dos casos:
Que el recorrido de la primera función esté incluido en el dominio de la segunda. En este caso el dominio de la función compuesta coincide con el de la primera función.
Domg∘f=Domf
Dominio de la función compuesta cuando el recorrido de la primera función está incluido en la segunda
Dominio función compuesta
En la ilustración aparecen los dominios y recorridos de f y g. Como puedes ver, el recorrido de f está íntegramente incluido en el dominio de g, con lo que el dominio de f y de g ∘ f coinciden.
Que el recorrido de la primera función no esté incluido en el dominio de la segunda. En este caso el dominio de la función compuesta serían aquellos valores de la primera función que son antiimagen de los valores del dominio de la segunda:
Domg∘f=Domf∩f−1(Domg)
Dominio de la función compuesta cuando el recorrido de la primera función no está incluido en la segunda
Dominio función compuesta
En la ilustración aparecen los dominios y recorridos de f y g. Como puedes ver, el recorrido de f no está íntegramente incluido en el dominio de g, con lo que el dominio de g ∘ f es un subconjunto de f: el de aquellos elementos que tienen imagen en el dominio de g.
En la expresión anterior aparece f-1. Se trata de la función inversa, que vamos a estudiar en el apartado inmediatamente posterior del tema. De momento te bastará con saber que, de manera complementaria a f(x), que nos permite pasar de un valor del dominio a su imagen (que es un valor del recorrido), la función inversa f-1(x), nos permite pasar de un valor del recorrido a su antiimagen (que es un valor del dominio).
Explicación paso a paso:
